一靠打磨，二靠活着，三靠等待。

感谢大家，尤其感谢辛老师和我自己。

两年半。两年靠活着打磨，半年靠活着等待。工作量确实不小，是很多个住实验室的夜晚，一边接辅导员夺命连环 call 一边熬出来的结果。

几次超大版本迭代，从辛老师的 insight，到自己努力追赶老师的思想，再到最后靠自己的一点灵光一闪，才终于把完整 paper 写出来。写完最后一个版本的那一刻，我才终于放过了我自己（完美主义要不得，天知道写成这个样子我是如何折磨我自己的🤦）

感谢匿名审稿人们的耐心，两年半里提了一堆意见，陪我一起改。我也从一开始的宁死不从，到最后认真地一条一条修改、答复。尤其是他们挑出第二个版本里的证明小错误时，我也只能：“说得对啊，说得真好啊！” 于是这才 push 着自己彻底重写出了第三个大版本，也就是最终版的雏形。现在整体一看，这个版本确实挺好的，我还挺满意的。

唯一的遗憾是，三投三拒 siggraph journal only（没错，头铁的我次次选），最后自己先怕了才转战tvcg，没再头铁地继续刷tog。可审稿人竟然还是没变，仍然在一路追杀，到这最后我才终于读懂了审稿意见的内涵。有经验了，下次再战吧。

总结：本人失败经验极其丰富，虽然也收获颇丰。现在深刻认识到，人生的第一要义是先活着...

备忘：OffsetCrust Insight 雏形

以下是我个人整理的，2024年1月拿到的辛老师的 insight，同时也是 paper 第一个版本主要逻辑

Power 距离定义为：

\mathrm{dist}(x,p)=\|x-p\|^2-w_p

令：

q=p+\epsilon n

其中 $n$ 为单位法向量。若 $x$ 位于 $p$ 与 $q$ 的 power bisector 上，则有：

\|x-p\|^2-w_p=\|x-q\|^2-w_q

因此：

\begin{aligned} \|x-p\|^2-\|x-q\|^2 &=w_p-w_q \\ (\|x\|^2-2x^\top p+\|p\|^2) - (\|x\|^2-2x^\top q+\|q\|^2) &=w_p-w_q \\ 2x^\top(q-p)+\|p\|^2-\|q\|^2 &=w_p-w_q \end{aligned}

代入 $q=p+\epsilon n$ ，得到：

\begin{aligned} w_p-w_q &=2x^\top(\epsilon n)+\|p\|^2-\|p+\epsilon n\|^2 \\ &=2\epsilon x^\top n-\left(2\epsilon p^\top n+\epsilon^2\right) \\ &=2\epsilon (x-p)^\top n-\epsilon^2 \end{aligned}

令：

d=(x-p)^\top n

即 $x$ 到 $p$ 沿法向 $n$ 的有符号距离，则：

\boxed{ w_p-w_q=2\epsilon d-\epsilon^2 }

也即：

\boxed{ w_{\mathrm{diff}}=2\epsilon d-\epsilon^2 }

也就是说，计算一个形状的 offset 时，可以先在原始表面上采样得到点云 $P$ ，再将每个采样点 $p$ 沿法向偏移一小段距离 $\epsilon$ ，得到对应点 $q=p+\epsilon n$ ，从而构造另一组点云 $Q$ 。

随后，为 $P$ 中的点赋予权重 $w_{\mathrm{diff}}$ ，为 $Q$ 中的点赋予权重 $0$ 。构造对应的 Power Diagram 后，提取 $P$ 与 $Q$ 的 power cells 之间的公共面片，即可得到距离原始曲面为 $d$ 的 offset surface。

核心是：

w_{\mathrm{diff}}=2\epsilon d-\epsilon^2

也就是把 offset surface 的构造，转化为 power weight 的选择。

Behind the Paper: OffsetCrust

备忘：OffsetCrust Insight 雏形